uji hipotesis

NGUJIAN HIPOTESIS

Tujuan Instruksional Umum :

1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Hipotesis atau dugaan sementara
2. Mahasiswa mampu memahami berbagai pengujian hipotesis
3. Mahasiswa mampu memahami pengujian hipotesis untuk sample besar dan sample kecil

Tujuan Instruksional Khusus :

1. Mahasiswa mampu untuk membuat hipotesis nol dan hipotesis alternative baik untuk satu arah maupun untuk dua arah
2. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk satu rata-rata dan dua rata-rata untuk data dengan sample besar dan kecil
3. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk satu proporsi, dua proporsi dan lebih dari tiga proporsi untuk data dengan sample besar dan kecil

Pertemuan minggu ke 1 dan 2.

BAB 1 : PENGUJIAN HIPOTESIS

A. Pendahuluan
Hipotesis pada dasarnya merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan untuk dasar penelitian lebih lanjut.

B. Jenis Kesalahan (Type of Error)
Ada dua jenis kesalahan yang bias terjadi di dalam pengujian hipotesis. Kesalahan bisa terjadi karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar atau menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol itu salah. Kesalahan yang disebabkan karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar disebut kesalahan jenis pertama atau type 1 error. Sebaliknya kesalahan yang disebabkan karena kita menerima hipotesis nol padahal hipotesis itu salah disebut kesalahan jenis 2 atau type 2 error.

Situasi

Keputusan

Ho Benar

Ho Salah

Terima HoKeputusan tepat (1 – α)Kesalahan jenis 2 (β)Tolak HoKesalahan jenis 1 (α)Keputusan tepat (1 – β)



C. Perumusan Hipotesis
Hipotesis yang berupa anggapan/pendapat dapat didasarkan atas :
a)      Teori
b)      Pengalaman
c)      Ketajaman berpikir. Orang yang cerdas sering mempunyai pendapat tentang pemecahan suatu persoalan

Hipotesis dinyatakan dalam Ho dan Ha atau H₁ sebagai alternatifnya. Ho selalu dinyatakan dalam bentuk :
Ho ; d = 0
dan hipotesis alternatif mempunyai bentuk
a)      H₁ ; d < 0
b)      H₁ ; d > 0
c)      H_{1 ;} d ≠ 0
(a)dan (b) disebut pengujian satu arah (one tail) dan (c) disebut pengujian dua arah (two tail test).
Gambar pengujian dua arah :



D. Pengujian Hipotesis Tentang Rata-rata
1. Pengujian Hipotesis Satu Rata-rata
Urutan yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis tentang satu rata-   rata adalah sebagai berikut :

1.                     i.      Rumuskan hipotesis

H₀  : μ = μ₀
H₁  : μ < μ₀  atau  μ  > µ₀   atau   μ ≠ µ₀

1.                   ii.            Tentukan nilai α = tingkat nyata (significan level) = probabilitas untuk melakukan kesalahan jenis I dan cari nilai Z_α atau Z_α/2dari Tabel Normal
   1.                 iii.            Hitung Z₀  sebagai kriteria pengujian, rumus

untuk n ≥30
Jika n < 30 maka Z_0, Z_αatau Z_α/2  diganti dengan t₀, t_αatau t_α/2.
Dengan rumus to adalah :
Dengan derajat kebebasan n – 1.

1.                 iv.             Pengujian hipotesis dan pengambilan kesimpulan
2. H₀ : μ = μ₀   apabila  Z₀ > Z_α,  Ho ditolak

H₁  : μ > μ₀  apabila  Z₀ ≤ Z_α,  Ho diterima

1. H₀ : μ = μ₀   apabila  Z₀ < – Z_α,  Ho ditolak

H₁ : μ < μ₀  apabila  Z₀ ≥ – Z_α,  Ho diterima

1. H₀ : μ = μ₀   apabila  Z₀ > Z_α/2 atauZ₀ < -Z_α/2, Ho ditolak

H₁ : μ ≠ μ₀  apabila  -Z_α/2 ≤ Z₀ ≤ Z_α/2, Ho diterima

Contoh 1:
Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan rata-rata 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Ujilah hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah 8 kg dengan alternative lebih besar dari 8 kg bila suatu sample 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan rata-rata 8,4 kg.  Gunakan α = 5%.
Jawab :
H₀ : μ = 8 kg
H₁ : μ > 8 kg
α = 5%, Z_α= 1,64 dari tabel normal
=
α = 5%

Z0 =  5,6

Z = 1,64

Oleh karena Z₀ > Z_α, maka H₀ ditolak, yang berarti bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah lebih dari 8 kg.



Contoh 2:
Waktu rata-rata yang diperlukan permahasiswa untuk mendaftar ulang pada semester ganjil di suatu perguruan tinggi adalah 20 menit dengan simpangan baku 5 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin antrian sedang dicoba. Bila sample 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 8 menit dengan simpangan baku 3,2 menit dengan system baru tersebut, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-ratanya sekarang tidak sama dengan 20 menit. Gunakan α = 5%.
Jawab :
n = 12,  = 8 menit, s =3,2 menit, µ_o  = 20 menit
H₀ : μ = 20 menit
H₁ : μ ≠ 20 menit

 =
α = 0,05 dan derajat kebebasan = n – 1 = 12 – 1 = 11
t _{α/2(n -1)} =t _0,025(11) = 2,2010 dan – t _0,025(11)  = – 2,2010
Daerah Kritis :

	– 2,2010			2,2010

Kesimpulan :
Karena t₀ = – 12,9 < -t_α/2 - -2,2010 maka H₀ ditolak. Berarti bahwa rata-rata lamanya pendaftaran studi dengan menggunakan mesin antrian tidak sama dengan 20 menit, bahkan hanya membutuhkan waktu 8 menit, jadi sebaiknya diberlakukan system pendaftaran yang baru dengan mesin antrian.

1. 2.   Pengujian Hipotesis Dua Rata – rata.

Dalam praktek, seringkali ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti dari dua rata-rata populasi. Misalnya

1. Kecepatan dalam mengerjakan suatu pekerjaan antara pekerja pria dan  wanita
2. Kekuatan dua jenis besi berani
3. Lamanya menyala bola lampu merek A dan B

Perumusan Hipotesisnya adalah sebagai berikut :
H₀ : μ₁ – μ₂  = 0 atau μ₁ = μ₂  (Tidak ada  perbedaan, atau sama)
(1)   H_a : μ₁ – μ₂  > 0 (ada perbedaan μ₁ > μ₂ )
(2)   H_a : μ₁ – μ₂  < 0 (ada perbedaan μ₁ < μ₂ )
(3)   H_a : μ₁ – μ₂  ≠ 0 (μ₁ berbeda dengan μ₂ )

a). Bila n > 30 (sample besar)
Z₀ =            =jika

b). Bila n ≤ 30 (sample kecil)
t₀  =
t₀  mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar n₁ + n₂ -2.

Contoh :
Seorang pemilik toko yang menjual 2 macam bola lampu merek A dan B, berpendapat bahwa tak ada perbedaan rata-rata lamanya menyala bola lampu kedua merek tersebut dengan alternative ada perbedaan. Untuk menguji pendapatnya dilakukan percobaan dengan menyalakan 100 buah bola lampu merek A dan 50 buah bola lampu merek B, sebagai sample acak. Ternyata bola lampu merek A dapat menyala rata-rata selama 952 jam, sedangkan merek B 987 jam, masing-masing dengan simpangan baku sebesar 85 jam dan 92 jam. Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut.
Jawab :
H₀ : μ₁ – μ₂  = 0
H_a : μ₁ – μ₂  ≠ 0
n₁ = 100, = 952, σ₁ = 85
n₂ =   50, = 987, σ₂ = 92
n₂ =   50, = 987, σ₂ = 92
Z₀ =  =
Untuk α = 5%, Z _α/2 = 1,96

		-Zα/2 = -1,96		Zα/2 = 1,96

Kesimpulan :
Karena Z₀ = -2,25 < -Z_α/2 = – 1,96 maka H₀ ditolak. Berarti rata-rata lamanya menyala bola lampu dari kedua merek tersebut tidak sama.

3. Pengujian Hipotesis Rata-rata, Variance Tidak Diketahui
a. Uji  beda rata-rata sampel besar (n >30). ((s1 ¹s2 tidak diketahui)

Digunakan rumus:


    



s2= Varian sample

Kasus: “Pendapatan sebelum dan sesudah promosi sama??
Anda disuruh untuk menguji pernyataan tersebut, pada a = 5 %, kemudian anda mengamati selama 36 hari sebelum ada promosi, dengan rata-rata penjualan Rp. 13,17 dan standar deviasi Rp. 2,09. Setelah ada promosi: Rata-rata pendapatan Rp 7,55 dan St.deviasi Rp. 1,09.

Langkah Pengujian hipotesa:
1. Merumuskan hipotesa:
Ho =  m1 – m2 = 0
Ha =  m1 – m2 ¹ 0
2. Menentukan taraf nyata ( 5%). Nilai kritis Za/2 = Z0,025 =1,96

Lihat tabel luas wilayah kurva normal.





Z
-1,96                  1,96

3. Alat Uji


=   13,95




4. Kriteria
Lihat kurva diatas.

Tolak Ho                                                          Tolak Ho



Z
-1,96                 1,96
5. Keputusan
Tolak Ho, artinya tidak cukup bukti untuk mendukung pernyataan diatas, yang mengatakan, bahwa rata-rata pendapatan perusahaan sebelum dan sesudah promosi sama
b. Uji  beda rata-rata sampel kecil (n <30). (s1 ¹s2 tidak diketahui)
Digunakan rumus:






Ujilah pernyataan: Obat “X” dan obat “Y” memiliki efek yang sama  terhadap  penurunan berat badan?

Obat “X”
Ana	5.5
Ani	6.0
Anu	4.0
Ano	4.0
Ane	4.5
Bada	5.0
Badi	5.0
Badu	5.5
Bado	5.5
Bade	5.0

Obat “Y”
DONA	5.0
DONI	5.5
DONU	5.0
DONO	4.0
DONE	3.5
TOGA	3.0
TOGI	3.5
TOGU	4.0
TOGO	4.0
TOGE	3.5

Langkah-langkah pengujian hipothesis
1. Rumuskan Hipothesis:
Ho = 0 : Obat “X” dan “Y” memiliki efek yang sama terhadap penurunan berat badan.
Ha ¹ 0: Obat “X” dan “Y” memiliki efek  yang TIDAK sama  terhadap penurunan berat badan.

2. Menentukan Taraf nyata (a) = 5 %
3. Memilih Statistik Uji yang sesuai





Mencari T hitung



dimana derajat bebas db= (n1 +n2) –  2 ,  Sebesar 2,1009

4. Menentukan kriteria keputusan



Tolak Ho


– ta/2= – 2,1                   ta/2= 2,1        t hit= 2,714

5. Keputusan
Tolak Ho, sehingga pernyataan kedua jenis obat tersebut memberi efek penurunan berat badan yang sama tidak dapat diterima.

4. Pengujian Hipotesis Rata-rata Data Berpasangan
Data berpasangan adalah data yang memiliki dua perlakuan berbeda pada objek atau sampel yang sama
Misalnya.
Pengaruh Produktivitas sebelum dan sesudah pelatihan bagi Badu. Jadi disini ada dua perlakuan, pada sampel yang sama. Data seperti ini disebut data tidak bebas atau non-independent.

Alat Uji Statistik


Dengan standar deviasi,




Dimana,
t     : Nilai distribusi t
: Nilai rata-rata perbedaan antara pengamatan berpasangan
Sd  : Standar deviasi dari perbedaan antara pengamatan berpasangan
n    : Jumlah pengamatan berpasangan
d    : Perbedaan antara data berpasangan

Kasus. Bagaimana dampak Bom di Indonesia terhadap harga saham?

Prsh	Harga Sebelum bom	Hrg. sesudah Bom
A	9	5
B	5	5
C	7	6
D	6	4
E	8	6
F	7	4
G	4	2
H	4	1
I	3	3
J	7	6

Penyelesaian:
1. Perumusan Hipotesa
Ho : md = 0
Ha : md ¹ 0
2.Menentukan taraf nyata 5 %. Nilai t-Student dengan taraf nyata % % uji satu arah dengan derajat bebas(db) n-1 = 9 adalah 2,262
3. Melakukan Uji statistik

Sebelum	Sesudah	d	d2
9	5	-4	16
5	5	0	0
7	6	-1	1
6	4	-2	4
8	6	-2	4
7	4	-3	9
4	2	-2	4
4	1	-3	9
3	3	0	0
7	6	-1	1

→




→
Kriteria Keputusan
Tolak Ho




– 0,432    1,833
Keputusan
Tolak Ho (md = 0) berati terima Ha (md ¹ 0) Berarti harga saham sebelum dan sesudah ada bom tidak sama.

5. Pengujian Hipotesis untuk Proporsi

1. a.      Pengujian Hipotesis untuk Satu Proporsi

Dalam praktek, yang harus diuji seringkali berupa pendapat tentang proporsi (persentase). Misalnya persentase barang yang rusak = 10%, nasabah yang tidak puas = 25%, penduduk suatu daerah yang buta huruf = 15%, dan lain sebagainya. Pengujian hipotesis dinyatakan dalam proporsi.
Perumusan hipotesis sebagai berikut :
H₀ : p = p₀
H₁ : p > p_0, atau p < p_0, atau p ≠ p₀
         Cara pengujiannya sama dengan pengujian rata-rata.
Z ₀  =
Dimana :  n = banyaknya elemen sample
X = banyaknya elemen sample dengan karakteristik tertentu
P₀ = proporsi hipotesis.

Contoh soal :
Seorang pemborong menyatakan bahwa di 70% rumah-rumah yang baru dibangun di kotaYogyakartadipasang suatu alat pendeteksi gempa bumi. Apakah anda setuju dengan pernyataan tersebut bila diantara 15 rumah baru yang diambil sebagai sample secara acak ternyata terdapat 8 rumah yang menggunakan alat pendeteksi gempa bumi tersebut. Gunakan taraf nyata 0,10.
Jawab :
X = rumah yang menggunakan alat pendeteksi gempa bumi = 8
n = 15
H₀ :  p₀  = 0,7
H₁ :  p₀  ≠ 0,7
α = 0,10, maka Z_α/2 = Z_0,05 = 1,645

Z₀ =   


Daerah kritis :








Kesimpulan :
Karena Z₀  terletak antara –Z_α/2  dan Z_α/2  maka terima H₀, yang berarti bahwa tidak ada alasan yang kuat untuk meragukan pernyataan pemborong di atas.



b. Pengujian Hipotesis untuk Dua Proporsi
Untuk menguji proporsi dari dua populasi digunakan suatu pengujian hipotesis yang menggunakan perumusan hipotesis sebagai berikut :
H₀ : p₁ – p₂ = 0 atau p₁ = p₂   dengan
H₁ : p₁ – p₂ > 0 atau p₁ > p₂
p₁ – p₂  < 0 atau p₁ < p₂
p₁ – p₂  ≠ 0 atau p₁ ≠ p₂
Dengan rumus untuk
Z₀ =

Contoh :
Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merek rokok yang berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai merek A dan 29 diantara 150 perokok menyukai merk B. Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0,06 bahwa merek A terjual lebih banyak daripada merek B?
Jawab :
p₁ = ; p₂ =
H₀ : p₁ – p₂ = 0 atau p₁ = p₂
H₁ : p₁ – p₂ > 0 atau p₁ > p₂
α = 0,06, Z_α = 1,55

Z₀ =

Z₀ =

Daerah kritis

Z = 1,55    Z = 40,18

Kesimpulan :
Karena Z₀ = 40,18 > Z_α = 1,55 maka tolak H₀. Yang berarti proporsi penjualan rokok merek A lebih banyak daripada penjualan rokok merek B.